Az aranyarány olyan arány, amelyet az ókortól kezdve a legtökéletesebbnek és legharmonikusabbnak tartanak. Számos ősi szerkezet alapját képezi, a szobroktól a templomokig, és nagyon gyakori a természetben. Ugyanakkor ezt az arányt meglepően elegáns matematikai konstrukciók fejezik ki.
Utasítás
1. lépés
Az aranyarányt a következőképpen határozzuk meg: ez egy szegmens olyan két részre osztása, hogy a kisebb rész ugyanúgy utal a nagyobbra, mint a nagyobb rész a teljes szegmensre.
2. lépés
Ha a teljes szegmens hosszát 1-nek vesszük, és nagyobb részének hosszát x-nek vesszük, akkor a keresett arányt az egyenlet fejezi ki:
(1 - x) / x = x / 1.
Ha megszorozzuk az arány mindkét oldalát x-szel, és a feltételeket átvezetjük, megkapjuk a másodfokú egyenletet:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
3. lépés
Az egyenletnek két valódi gyökere van, amelyek közül természetesen csak a pozitív érdekel minket. Ez egyenlő (√5 - 1) / 2-vel, ami megközelítőleg 0, 618-mal egyenlő. Ez a szám az aranyarányt fejezi ki. A matematikában leggyakrabban φ betűvel jelölik.
4. lépés
A φ számnak számos figyelemre méltó matematikai tulajdonsága van. Például még az eredeti egyenletből is látható, hogy 1 / φ = φ + 1. Valóban, 1 / (0, 618) = 1, 618.
5. lépés
Az aranyarány kiszámításának másik módja a végtelen frakció használata. Bármely tetszőleges x-ből kiindulva, egymás után összeállíthat egy törtet:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
stb.
6. lépés
A számítások megkönnyítése érdekében ez a tört iteratív eljárásként ábrázolható, amelyben a következő lépés kiszámításához hozzá kell adnia egyet az előző lépés eredményéhez, és el kell osztania egyet a kapott számmal. Más szavakkal:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Ez a folyamat konvergál és korlátja φ + 1.
7. lépés
Ha a reciprok számítását a négyzetgyök kivonásával helyettesítjük, vagyis iteratív ciklust hajtunk végre:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), akkor az eredmény változatlan marad: az eredetileg megválasztott x-től függetlenül az iterációk φ + 1 értékre konvergálnak.
8. lépés
Geometriai szempontból az aranyarány szabályos ötszög segítségével állítható elő. Ha két metsző átlót rajzolunk bele, akkor mindegyik szigorúan az aranyarányban osztja el a másikat. Ez a megfigyelés a legenda szerint Pythagorasé, akit annyira megdöbbentett a talált minta, hogy a helyes ötágú csillagot (pentagrammát) szent isteni szimbólumnak tartotta.
9. lépés
Nem ismertek annak okai, hogy miért éppen az aranyarány tűnik a legharmonikusabbnak az ember számára. A kísérletek azonban többször megerősítették, hogy azok az alanyok, akiket arra utasítottak, hogy a szegmenst két egyenlőtlen részre osszák fel a legszebben, az aranymetszéshez nagyon közel eső arányokban csinálják.
